Tugas Pertemuan 3

Multiple Choice

1. Dalam untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut....
   a. Elemen
   b. kuantor
   c. refleksif
   d. Relasi
   e. Fungsi
   Jawaban : B
    
2. Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/dinotasikan dengan....
   a. ∃
   b. ∀
   c. ῼ
   d. ∑
   e. 𝜋
   Jawaban : A
    
3. Negasi/ingkaran dari ∃x adalah....
   a. ∃x
   b. ∀x
   c. ῼx
   d. ∑x
   e. 𝜋x
   Jawaban :  B
    
4. Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan....
   a. Langkah Induksi
   b. Hipotesis
   c. Basis Induksi
   d. Hipotesis induksi
   e. Induksi Matematika
   Jawaban : D
    
5. Teknik pembuktian yang baku dalam matematik,khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan.....
   a. Langkah Induksi
   b. Hipotesis
   c. Basis induksi
   d. Hipotesis induksi
   e. Induksi Matematika
   Jawaban : E

Essay

1. Tentukan validitas pernyataan di bawah ini bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real
   a)∀x , ∀y , P (x² < y + 1)
       ∀x ,  ∃y , P (x² < y + 1)
        ∃x , ∀y , P (x² < y + 1)
        ∃x ,  ∃y , P (x² < y + 1)
   b)∀x , ∀y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
       ∀x ,  ∃y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
        ∃x , ∀y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
        ∃x ,  ∃y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
2. Negasikan setiap pernyataan di bawah ini :
   (a) ∀x , P(x) ⋀ ∃y , Q(y)
   (b)  ∃x , P(x) ⋁ ∀y , Q(y)
   (c) ∀x ,  ∃y , [P(x) ⋁ Q(y)]
   Jawaban :

1.  a. (-)∀x, ∀y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat salah dan semua bilanga real dalam bilangan Y bersifat benar. sehingga, pilihan pertama dinyatakan tidak sesuai.
        (-)∀x, ∃y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat salah dan beberapa bilangan real dalam himpunan Y bersifat benar. sehingga, pilihan ke-dua dinyatakan tidak sesuai.
        (-)∃x, ∀y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka beberapa bilangan real dalam himpunan X bersifat benar dan semua bilangan real dalam himpunan Y bersifat benar. sehingga, pilihan ke-tiga dinyatakan Sesuai
        (-)∃x, ∃y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat benar dan semua bilanga real dalam bilangan Y bersifat salah. sehingga, pilihan ke-empat dinyatakan tidak sesuai.
   
   b.   (-)∀x, ∀y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => semua bilangan real dalam himpunan X dan himpunan Y merupakan bilangan real. Jika himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
         (-)∀x,∃y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => semua bilangan X adalah bilangan real dan beberapa himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
         (-)∃x, ∀y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => beberapa anggota himpunan X adalah bilangan real dan semua anggota himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
         (-)∃x, ∃y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => beberapa anggota himpunan X adalah bilangan real dan beberapa anggota himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang
2. (a) ~ [∀x , P(x) ⋀ ∃y , Q(y)]
        = ∃x , ~P(x) ⋁ ∀y , ~Q(y)
   
   (b) ~ [∃x , P(x) ⋁ ∀y , Q(y)]
        = ∀x , ~P(x) ⋀ ∃y , ~Q(y)
   
   (c) ~[∀x ,  ∃y , [P(x) ⋁ Q(y)]
        = ∃x , ∀y , [~P(x) ⋀ ~Q(y)

Latihan
     Buktikan dengan induksi matematik

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²
   Jawaban :
   1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
   Basis induksi : p(1) benar karena jumlah satu buah bilangan positif ganjil pertama adalah...
   => n = 1
   => (2 . 1 - 1) = 1
   => 1 = 1 (benar)
   Langkah induksi : misal p(n) benar , kita asumsikan bahwa
   1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² adalah benar (hipotesi induksi), maka kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar.
   => 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) + (2(n+1)-1) = (n+1)^{2
          |________________|}
                            n²                      + (2n + 2-1) = (n+1)²
                                                        n²  + 2n + 1 = (n+1)²
                                                                  (n+1)² = (n+1)²
   (Terbukti)
   
2. Untuk semua n ≥ 1 maka n³ + 2n adalah kelipatan 3
   Jawaban :
   Basis induksi :
   => n = 1
   => 1³ + 2.1 = 3
   => p(1) benar karena untuk n = 1 , hasilnya adalah
        kelipatan 3
   Langkah induksi : misal p(n) benar , yaitu n³ + 2n adalah kelipatan 3
   diasumsikan benar (hipotesis induksi),Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar.
   => n = n + 1
   => (n+1)³+2(n+1) = n³+3n²+3n+1+2n+2
                                 = (n³+2n) + (3n²+3n+3)
                                 = (n³+2n) + 3(n²+n+1)
   => Karena (n³+2n) habis dibagi 3 dan 3(n²+n+1) juga
         habis dibagi 3 maka (n+1)³+2(n+1) juga habis dibagi 3
   
   (Terbukti)
3. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
   Jawaban :
   Basis induksi :
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
   => n = 1
   => 1(1+1) = 1(1+1)(1+2)/3
   => 2 = 2
   => p(1) benar
   Langkah induksi : misal p(n) benar maka kita asumsikan bahwa n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 adalah benar (hipotesis induksi),maka kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar.
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
   => n = n + 1
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) + (n+1)((n+1)+1) = (n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)/3
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
   => n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
   => n(n+1)(n+2) + 3 (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)
   => (n+1) (n+2) (n+3) = (n+1)(n+2)(n+3)
   
   (Terbukti)