Tugas Pertemuan 6

Multiple Choice

1. Aljabar yang terdiri atas suatu himpunan dengan operasi jumlah/disjungsi,kali/konjungsi,dan komplemen/negasi serta elemen 0 dan 1 disebut....
   a. pernyataan
   b. Aritmatika
   c. Aljabar Real
   d. Geometri
   e. Aljabar Boolean
2. Di bawah ini yang merupakan hukum dominasi adalah....
   a. a + 0 = a
   b. a.a = a
   c. a + a' = 1
   d. a + 1 = 1
   e. a.b = b.a
3. Peubah dalam Boolean disebut dengan....
   a. Relasi
   b. Literal
   c. Fungsi
   d. Komplemen
   e. Variabel
4. f(x,y) = x′y + xy′ + y′ jika dicari komplemennya menjadi....
   a. f′(x,y) = (x + y′)(x′+y)y
   b. f′(x,y) = xy′ + x′y + y
   c. f′(x,y) = x′y + xy′ + y′
   d. f′(x,y) = (x′ + y)(x + y′)y′
   e. Salah semua
5. f(x,y) = x′y + xy′ + y′ jika dicari bentuk dualnya menjadi....a. f′(x,y) = (x + y′)(x′+y)y
   b. f′(x,y) = xy′ + x′y + y
   c. f′(x,y) = x′y + xy′ + y′
   d. f′(x,y) = (x′ + y)(x + y′)y′
   e. Salah semua

Essay
Latihan Soal :
Cari komplemen dari

1. f(x,y,z) = x′(yz′ +y′z)
2. f(x) = x
3. f(x,y) = x′y + xy′ + y′
4. f(x,y) = x′y′
5. f(x,y) = (x + y)′
6. f(x,y,z) = xyz′
   Jawab : 

1. f′(x,y,z) = x + (y′ + z)(y +z′)
2. f′(x) = x′
3. f′(x,y) = (x + y′)(x′ + y)y
4. f′(x,y) = x + y
5. f′(x,y) = x′ + y′
              = xy
6. f′(x,y,z) = x′ + y′ + z

Tugas Pertemuan 5

Multiple Choice

1. Suatu kalimat yang bernilai benar atau salah saja disebut....
   a. Deklarasi
   b. proposisi
   c. Pernyataan
   d. disjungsi
   e. Implikasi
2. p = hari ini saya kuliah matematika diskrit,jika dicari negasinya maka hasilnya.....
   a. Hari ini saya tidak kuliah matematika diskrit
   b. Besok saya kuliah matematika diskrit
   c. Saya kuliah matematika diskrit
   d. Hari ini saya kuliah automata
   e. semua salah
3. Jika p benar,q salah,dan r benar,maka proposisi di bawah ini yang mempunyai nilai kebenaran 'salah' adalah...
   a. (p⋁q)→r
   b. (p⋀q)→r
   c. (p⋀~q)⋁r
   d. (p⋁q)→~r
   e. (p⋁q)⋁r
4. Kumpulan pernyataan-pernyataan atau premis-premis atau dasar pendapat serta kesimpulan(konklusi) disebut dengan...
   a. Premis
   b. Argumen
   c. Pernyataan
   d. Proposisi
   e. Validitas
5. 1. Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus
   2. Saya rajin belajar
   Dari dua argumen di atas maka kesimpulan yang diperoleh yaitu...
   a. Nilai saya tidak bagus
   b. Saya tidak rajin belajar
   c. Nilai saya bagus
   d. Saya rajin belajar
   e. Semua benar

Essay
Beri argumen dan tulis simbolnya :

1. Jika Harga Gula naik,maka pabrik gula akan senang
   Jika pabrik gula senang,maka petani tebu akan senang
   Jadi,....
2. Jika Lampu lalu lintas menyalah merah,maka semua kendaraan akan berhenti
   Lampu lalu lintas menyalah merah
   Jadi,....
3. Program komputer ini memiliki bug,atau menginputnya salah
   Inputnya tidak salah
   Jadi,....
4. Jika saya makan,maka saya akan kenyang
   Saya tidak kenyang
   Jadi,....
   Jawab :

1. Jika Harga Gula naik,maka pabrik gula akan senang
   Jika pabrik gula senang,maka petani tebu akan senang
   Jadi,Jika harga gula naik,maka petani tebu akan senang
   Notasi :
   p → q
   q → r
   ⎯⎯⎯⎯⎯
   ∴ p → r
2. Jika Lampu lalu lintas menyalah merah,maka semua kendaraan akan berhenti
   Lampu lalu lintas menyalah merah
   Jadi,Semua kendaraan berhenti
   Notasi :
   p → q
   p
   ⎯⎯⎯⎯⎯
   ∴ q
3. Program komputer ini memiliki bug,atau menginputnya salah
   Inputnya tidak salah
   Jadi,Program komputer ini tidak memiliki bug
   Notasi :
   p → q
   ∼ q
   ⎯⎯⎯⎯⎯
   ∴ ∼ p
4. Jika saya makan,maka saya akan kenyang
   Saya tidak kenyang
   Jadi,Saya tidak makan
   Notasi :
   p → q
   ∼ q
   ⎯⎯⎯⎯⎯
   ∴ ∼ p

Tugas Pertemuan 4

Multiple Choice

1. Kaidah dasar perhitungan yaitu penjumlahan dan perkalian digunakan dalam
   a. Kombinatorial
   b. Permutasi
   c. Kombinasi
   d. Relasi
   e. Induksi matematika
2. Suatu pengurutan data dimana urutan tidak diperhatikan adalah definisi ....
   a. Permutasi
   b. Kombinasi
   c. Himpunan
   d. Relasi
   e. Fungsi
3. Penyusunan objek dimana sebagian objek sama disebut dengan ...
   a. Permutasi bentuk umum
   b. Kombinasi bentuk umum
   c. Kombinasi perulangan
   d. Permutasi perulangan
   e. a dan b benar
4. Hasil perhitungan dari P(8,3) adalah ...
   a. 6720
   b. 240
   c. 336
   d. 520
   e. 56
5. Hasil perhitungan dari C(6,3) C(4,2) adalah ...
   a. 2
   b. 6
   c. 1440
   d. 120
   e. 144

Essay
Latihan

1. Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari.Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama.
2. Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan 3 angka yang berbeda pula?
3. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1,2,3,4,5 jika:
   i. tidak boleh ada perulangan angka
   ii. boleh ada perulangan angka
4. String biner yang panjangnya 32 bit disusun oleh digit 1 atau 0.Berapa digit string biner yang tepat berisi 7 buah bit 1?
5. Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0).
   a. Berapa banyak pola bit yang terbentuk? (atau berapa banyak karakter yang dapat dipresentasikan?)
   b. Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1?
   c. Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap?
6. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah 5 orang.Berapa carakah pembentukan panitia tersebut dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan panitia harus
   a. terbentuk tanpa persyaratan lain
   b. terdiri 3 pria dan 2 wanita
   c. teridi 2 pria dan 3 wanita

      Jawab : 
  1.  ₆P₄ =

   2. (₂₆P₄).(₁₀P₃) =
 ==> (₂₆P₄) = 

==> (₁₀P₃) = 

(₂₆P₄).(₁₀P₃) = 358.000 x 720 = 258.336.000 

  3.  i. ₅P₃ =

  


     ii. (5)(5)(5) = 125

 4 . C(32,7) =

5. a. Karakter ASCII dalam urutan 0,1,2,3,4,5,6,7
      Posisi 0 sampai 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
      Semua posisi harus diisi,jadi jumlah pola bit yang terbentuk 
      =  2⁸  = 256
   b. C(8,3) =

   c.Pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)
      Pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)
      Pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)
      Pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)
      Jadi,pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap = 
      C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6)
      = 40320 + 28 + 70 + 20160 = 60578
 
6. a. C(4,4) + C(3,1) = 4!/0!.4! + 3!/2!.1! = 1 + 3 = 4 cara
   b. C(4,3) + C(3,2) = 4!/3!.1! + 3!/1!.2! = 4 + 3 = 7 cara
   c. C(4,2) + C(3,3) = 4!/2!.2! + 3!/0!.3! = 6 + 1 = 8 cara

Tugas Pertemuan 3

Multiple Choice

1. Dalam untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut....
   a. Elemen
   b. kuantor
   c. refleksif
   d. Relasi
   e. Fungsi
   Jawaban : B
    
2. Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/dinotasikan dengan....
   a. ∃
   b. ∀
   c. ῼ
   d. ∑
   e. 𝜋
   Jawaban : A
    
3. Negasi/ingkaran dari ∃x adalah....
   a. ∃x
   b. ∀x
   c. ῼx
   d. ∑x
   e. 𝜋x
   Jawaban :  B
    
4. Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan....
   a. Langkah Induksi
   b. Hipotesis
   c. Basis Induksi
   d. Hipotesis induksi
   e. Induksi Matematika
   Jawaban : D
    
5. Teknik pembuktian yang baku dalam matematik,khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan.....
   a. Langkah Induksi
   b. Hipotesis
   c. Basis induksi
   d. Hipotesis induksi
   e. Induksi Matematika
   Jawaban : E

Essay

1. Tentukan validitas pernyataan di bawah ini bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real
   a)∀x , ∀y , P (x² < y + 1)
       ∀x ,  ∃y , P (x² < y + 1)
        ∃x , ∀y , P (x² < y + 1)
        ∃x ,  ∃y , P (x² < y + 1)
   b)∀x , ∀y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
       ∀x ,  ∃y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
        ∃x , ∀y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
        ∃x ,  ∃y , P [(x < y) ⇾ (x² < y²)]
2. Negasikan setiap pernyataan di bawah ini :
   (a) ∀x , P(x) ⋀ ∃y , Q(y)
   (b)  ∃x , P(x) ⋁ ∀y , Q(y)
   (c) ∀x ,  ∃y , [P(x) ⋁ Q(y)]
   Jawaban :

1.  a. (-)∀x, ∀y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat salah dan semua bilanga real dalam bilangan Y bersifat benar. sehingga, pilihan pertama dinyatakan tidak sesuai.
        (-)∀x, ∃y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat salah dan beberapa bilangan real dalam himpunan Y bersifat benar. sehingga, pilihan ke-dua dinyatakan tidak sesuai.
        (-)∃x, ∀y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka beberapa bilangan real dalam himpunan X bersifat benar dan semua bilangan real dalam himpunan Y bersifat benar. sehingga, pilihan ke-tiga dinyatakan Sesuai
        (-)∃x, ∃y, P(x²<y+1)
   => y≧1; x≤2, Maka semua bilangan real dalam himpunan X bersifat benar dan semua bilanga real dalam bilangan Y bersifat salah. sehingga, pilihan ke-empat dinyatakan tidak sesuai.
   
   b.   (-)∀x, ∀y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => semua bilangan real dalam himpunan X dan himpunan Y merupakan bilangan real. Jika himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
         (-)∀x,∃y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => semua bilangan X adalah bilangan real dan beberapa himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
         (-)∃x, ∀y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => beberapa anggota himpunan X adalah bilangan real dan semua anggota himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang dari y².
         (-)∃x, ∃y, P[(x<y)→(x²<y²)]
   => beberapa anggota himpunan X adalah bilangan real dan beberapa anggota himpunan Y adalah bilangan real. jika anggota himpunan X kurang dari himpunan Y, maka himpunan x² kurang
2. (a) ~ [∀x , P(x) ⋀ ∃y , Q(y)]
        = ∃x , ~P(x) ⋁ ∀y , ~Q(y)
   
   (b) ~ [∃x , P(x) ⋁ ∀y , Q(y)]
        = ∀x , ~P(x) ⋀ ∃y , ~Q(y)
   
   (c) ~[∀x ,  ∃y , [P(x) ⋁ Q(y)]
        = ∃x , ∀y , [~P(x) ⋀ ~Q(y)

Latihan
     Buktikan dengan induksi matematik

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²
   Jawaban :
   1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
   Basis induksi : p(1) benar karena jumlah satu buah bilangan positif ganjil pertama adalah...
   => n = 1
   => (2 . 1 - 1) = 1
   => 1 = 1 (benar)
   Langkah induksi : misal p(n) benar , kita asumsikan bahwa
   1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² adalah benar (hipotesi induksi), maka kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar.
   => 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) + (2(n+1)-1) = (n+1)^{2
          |________________|}
                            n²                      + (2n + 2-1) = (n+1)²
                                                        n²  + 2n + 1 = (n+1)²
                                                                  (n+1)² = (n+1)²
   (Terbukti)
   
2. Untuk semua n ≥ 1 maka n³ + 2n adalah kelipatan 3
   Jawaban :
   Basis induksi :
   => n = 1
   => 1³ + 2.1 = 3
   => p(1) benar karena untuk n = 1 , hasilnya adalah
        kelipatan 3
   Langkah induksi : misal p(n) benar , yaitu n³ + 2n adalah kelipatan 3
   diasumsikan benar (hipotesis induksi),Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar.
   => n = n + 1
   => (n+1)³+2(n+1) = n³+3n²+3n+1+2n+2
                                 = (n³+2n) + (3n²+3n+3)
                                 = (n³+2n) + 3(n²+n+1)
   => Karena (n³+2n) habis dibagi 3 dan 3(n²+n+1) juga
         habis dibagi 3 maka (n+1)³+2(n+1) juga habis dibagi 3
   
   (Terbukti)
3. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
   Jawaban :
   Basis induksi :
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
   => n = 1
   => 1(1+1) = 1(1+1)(1+2)/3
   => 2 = 2
   => p(1) benar
   Langkah induksi : misal p(n) benar maka kita asumsikan bahwa n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 adalah benar (hipotesis induksi),maka kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar.
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
   => n = n + 1
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) + (n+1)((n+1)+1) = (n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)/3
   => 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
   => n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
   => n(n+1)(n+2) + 3 (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)
   => (n+1) (n+2) (n+3) = (n+1)(n+2)(n+3)
   
   (Terbukti)